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苍溪县中小学教学研究室
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小学数学建模教学的朴素思考

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发表时间:2018-06-15 15:47

·模·魔

——小学数学建模教学的朴素思考

数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”、“建模”的意义上,才是一种真正的数学学习。这种“深入”,就小学数学教学而言,更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学,不断让学生经历从具体事例或现实原型出发逐步抽象、概括建立起某种模型并进行解释和运用,从而加深对数学的理解和感受,提升数学学习能力。

用数学建模的思想来指导着数学教学,不同的年级、内容、学习对象应该体现出一定的差异,但也存在着很大的关联性。就教学实施的一般程序来看,可以归结到三个字:“磨”、“模”、“魔”。

一、“磨”

所谓“磨”,即“琢磨”。也就是教师首先要反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”?需要帮助学生建立怎样的“模”?如何来建“模”?在多大的程度上来建“模”?所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响?……在基于建模思想的数学教学中,这些问题都是一些本原性的问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话,可以肯定,他的数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子,他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。

众所周知,“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程,然而,在小学里学生并不学习二元一次整数方程。可是,“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中:北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举;苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略;而人教版则是浓墨重彩,在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。教学这些内容时,如果仅是就题讲题,就课本讲课本,难免显得过于简单和浅薄。那么,对小学生的数学学习而言,“鸡兔同笼”是否还隐藏着其他的“模型”因素呢?我想至少有三方面是值得关注的:一是内容层面的,即“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征(告知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系,求未知量);二是方法层面的,即“假设法”的一般解题思路(画图、列举、替换等在某种意义上都是“假设”);三是思想层面的,即从一个具体的“鸡兔同笼”数学问题出发,在经历了对其解答的过程之后,能将解决它的方法和思路进行扩展运用(学习“鸡兔同笼”,最终的目标并不仅仅是会解答一道“鸡兔同笼”,更有其他)。有了这样的理解,在教学中,我们就会引导学生在关注教材中所编排内容的同时,注意把握题目的类型、结构和类比运用,用系统的眼光来看待它的教学价值。这些,恰恰是学生到了中学后真正建立二元一次整数方程数学模型的基础。

眼界决定境界。一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识,往往会决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。

二、“模”

所谓“模”,即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。对小学数学而言,“建模”的过程,实际上就是“数学化”的过程,是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。

【教学片段】减法

出示情境图。

师:请同学们认真观察这两幅图,说一说从图上你看到了什么?

生:有5个小朋友在浇花,走了2个,剩下3个。

师:你真棒!谁再来说一说。

生:原来有5个小朋友在浇花,走了2个小朋友,还剩下3个小朋友。

师:很好!你知道怎样列式吗?

生:5-2=3。

教师听了满意地点点头,板书5-2=3。

接着教学减号及其读法。

【教学片段2】

出示情境图。(同上)

师:谁来说一说第一幅图,你看到了什么?

生:从图中我看到了有5个小朋友在浇花。

师:第二幅图呢?

生:第二幅图中有2个小朋友去提水了,剩下3个小朋友。

师:你能把两幅图的意思连起来说吗?

生:有5个小朋友在浇花,走了2个,还剩下3个。

师:同学们观察得很仔细,也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗?

生:有5个小朋友在浇花,走了2个,还剩几个?

生(齐):3个。

师:对,大家能不能用圆片代替小朋友,将这一过程摆一摆呢?

(教师在行间指导学生摆圆片,并请一生将圆片摆在情境图的下面。)

师:(结合情境图和圆片说明)5个小朋友在浇花,走了2个,还剩3个;从5个圆片中拿走2个,还剩3个,都可以用同一个算式(学生齐接话:5-2=3)来表示。(在圆片下板书:5-2=3)

生齐读:5减2等于3。

师:谁来说一说这里的5表示什么?2、3又表示什么呢?

……

师:同学们说得真好!在生活中存在着许许多多这样的数学问题,5-2=3还可以表示什么呢?请同桌互相说一说。

1:有5瓶牛奶,喝掉2瓶,还剩3瓶。

2:树上有5只小鸟,飞走2只,还剩3只。

……

上述教学片段,摆脱了“就事论事”式的简单教学,除了教学充分展开外,更主要的是渗透了初步的数学建模思想,训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行,而是和低年级学生数学学习的特点相贴切——由具体、形象的实例开始,借助于操作予以内化和强化,最后通过思维发散和联想加以扩展和推广,赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。

运用建模思想来指导小学数学教学,在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体,通过这样的具有“模型”功能的载体,帮助学生实现数学抽象,为后续学习提供强有力的基础支持。当然,对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导,要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求,低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化,高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中“模型”的存在,培养初步的建模能力。

三、“魔”

所谓“魔”,即“着魔”,也就是学生对“模型”在数学学习中的运用有着深切的体验和感悟,并对之产生好奇,从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。儿童数学教学的终极目标,应该是让学生都懂数学、爱数学,对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标,数学教学就不能只停留在知识和方法层面,而是要深入到数学的“腹地”,用数学自身的魅力来吸引学生。正如日本数学家米山国藏所说:“作为知识的数学出校门不到两年就忘了,唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等,这些随时随地地发生作用,使人终身受益”。

要让学生能充分感受到数学模型和建模教学所产生的“魔力”,实际教学中,一方面要结合日常教学给学生以充分的体验和感受。比如,在二年级教学“确定位置”时,设定观察的规则(观察顺序)非常重要——“从左向右数是第几排”、“从前往后数是第几列”、“从下往上数是第几层”……如果我们结合这样的观察顺序在直观图上分别添加“横向带箭头的直线→”(坐标系中的“横轴”原型)和“纵向带箭头的直线↑”(坐标系中的“纵轴”原型),既将观察顺序形象表达,又蕴含了二维坐标(第一象限)的基本原理。如果学生在独立练习中也能模仿着使用,那感受会更加深刻。而在六年级学习“确定位置”(用方向、角度、距离来确定平面图中任意一个位置)时,如果让学生试着总是以观测点为中心先画出一个“十字”坐标图然后再确定位置,那学生的观察不仅变得有序,而且准确性很高。在此基础上,老师再对学生进行“建模”、“用模”的学习水平进行适当评价和鼓励,教学的境界就会大大提升。另一方面,也可以在中高年级进行一些专题性的训练。

这样的训练所产生的体验,将会使学生充分感受到数学建模的“魔力”,并将深刻而持久地影响着他们的数学学习和生活。

这是数学教学的崇高境界。

(作者单位:江苏省海安县实验小学)